Обойные группы
Я увлёкся группами орнаментов. Меня зацепило, что их всего семнадцать, и любые повторяющиеся узоры можно представить в виде одной из них. Уже неделю их повсюду ищу: если встречается прикольная тротуарная плитка, узорчатая витрина или решётка на окне — останавливаюсь, долго смотрю, нахожу центры поворотов и оси симметрии. Потом захожу в Калейдо-Пейнт и пытаюсь там повторить паттерн.
Сегодня случилось озарение, что замощения — это очень топологическая штука. Я и раньше понимал, что взятие модуля от координат точки как бы приделывает верхний край тайла к его низу, а левую грань к правой. То есть сворачивает прямоугольник в тор. А тут вдруг как понял! Все обойные группы ровно про то же самое, только способов обработки края больше.
- Есть края, стыкующиеся с другими, как я выше написал.
- А есть те, которые тоже соединяются с другим краем, но перекручиваются как лист Мёбиуса.
- Ещё край может отражать, как будто это зеркало, сквозь которое можно пройти.
- А ещё край может быть приделанным сам к себе: как будто он сложен пополам и правая половина соединена с левой.
Все знакомые замощения оказались свёрнутыми «резиновыми» кульками, цилиндрами и бутылками Клейна. Если двумерный чувак, который живёт в этой поверхности отправится в дальнее путешествие, он будет снова и снова проходить по одному и тому же рисунку, но ему будет казаться, что вокруг — бесконечный плоский мир, покрытый повторяющимся узором. Если чувак прошаренный, он по виду этого узора сможет догадаться о реальной форме пространства, в котором живёт.
Если вам интересно про всё это узнать побольше, вот клёвый видос https://www.youtube.com/watch?v=C_konuQKGtQ
